Tocan fractales[...] -II-
Segunda entrega de fractales, y espero que no la última.
Hoy trataré un tema que a más de uno le ha llamado la atención: los colores y las formas de los fractales que se pueden ver en las imágenes.
Los fractales presentan esos colores y formas cuando les asignamos un conjunto de colores a una serie de puntos. Esto no se podría hacer, evidentemente, sin un ordenador (y no digo cuál) lo suficientemente potente como para resolver la función asociada a cada fractal. Es decir, si los matemáticos no asignaran esos determinados colores a unos puntos concretos de la función, como pueda ser una función logarítmica o exponencial, dicha función luciría exactamente igual que una gráfica típica y "sosa".
Hasta ahora bien. Los matemáticos asocian colores, pero ¿cómo? ¿Tienen algún criterio? ¿Lo hacen de forma anárquica? Es evidente que no. Las asociaciones son las siguientes:
-Si pertenece al conjunto de la función, un color.
-Si los puntos tienden al infinito, es decir, si no pertenecen al conjunto, otro color.
-Y si, y perdón por la falta de rigor, dichos puntos no tienden al infinito, ni pertenecen al conjunto, se les asocia otra gama cromática.
El resultado sería más o menos como esto:
Mañana, un poco sobre la historia de los fractales y matemáticos que han destacado en la materia.
Continuará...
Tocan fractales[...]
A qué vendrán los fractales, os preguntaréis muchos de vosotros. Toca algo diferente, os contesto yo.
Empiezo respondiendo a la pregunta que os habéis hecho. Un fractal es un objeto recursivo. Que ese objeto presente recursividad significa que visto a cualquier escala (4x, 10x, 1000x, etc.) presenta el mismo aspecto que la figura principal.
Los fractales se han conocido desde siempre, siendo considerados como meras curiosidades matemáticas hasta el S. XIX , momento en el que destacan matemáticos como Cantor, quien describió el Polvo de Cantor, o Sierpinski.
Polvo de Cantor:
Como se puede observar en la imagen, los segmentos se van dividiendo sucesivamente, hasta un final, o no, de forma fractaria.
Es aquí donde entra en juego el concepto de dimensión fractal. Estamos acostumbrados a movernos en tres dimensiones, o cuatro si consideramos el tiempo como dimensión. Esto se puede demostrar de forma sencilla:
-Un punto no tiene dimensión, pues no posee ni largo ni ancho, es adimensional.
-Una línea es unidimensional, pues posee largo, pero no ancho.
-Un plano es bidimensional, ya que se caracteriza por un ancho y largo.
-Imaginemos un cubo de Rubik; tiene tres dimensiones: largo, ancho y alto.
Ahora cogemos el cubo de Rubik y dividimos su ancho, alto y largo por la mitad. Obtenemos ocho mini-cubos. Si seguimos dividiéndolo, observamos que los mini-cubos aumentan de forma exponencial con base 2.
Hasta ahora fácil, pues no nos hemos salido de nuestro mundo tridimensional.
Cojamos el triángulo de Sarpienski, inventado por este matemático polaco en 1915:
El triángulo equilátero está dividido a su vez en tres triángulos equiláteros iguales al principal, por lo que presenta estructura de fractal. Por tanto, obtendríamos la siguiente potencia:
2 ^ x = 3
Necesitamos un número x que cumpla dicha igualdad. Esa cifra ha de estar entre 1 y 2, por tanto el triángulo de Sarpienski no es ni unidimensional, ni bidimensional. Su dimensión debe estar entre 1 y 2, concretamente 1.58496250072115618145373894395 .
Es decir, se descubre que hay dos tipos de geometría: la Euclidiana- la que todos conocemos- y la no-Euclidiana, en la que se incluye la fractal.
Continuará...
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